In diesem Video wollen wir den Begriff der Stetigkeit einer Funktion aus den

metrischen Räumen in die normierten Räume hinüberschaffen und dabei auch

noch mal die grundlegendsten Charaktereigenschaften von stetigen

Funktionen wiederholen, sodass wir noch mal die Möglichkeit haben diese

Definition und wichtigen Sätze zu sehen. Wir werden das ganze noch ergänzen durch

neue Konzepte, die sich hier ausdrücken durch den banachischen Fixpunktsatz,

der ein sehr hilfreiches Werkzeug sein wird, mit dem sie in höheren Vorlesungen

zum Beispiel die Konvergenz eines Iterationsverfahrens beweisen können

oder aber die Existenz eines Fixpunktes. Stetigkeit, wie kann man sich das ganze

vorstellen, um eine Intuition zu bekommen? Mir hilft es immer mir vorzustellen, ich

versuche im Zweidimensionalen einen Graphen zu malen, einer Funktion und ich

weiß die Funktion ist dann stetig, wenn ich im Prinzip diesen Graphen malen kann

ohne dass ich den Stift dabei absetze. Würde ich jetzt zwischendrin den Stift

einmal anheben, dann weiß ich diese Funktion ist definitiv nicht stetig, das

heißt die Funktion kann noch so weich verlaufen, sobald ich einmal den Stift

angehoben habe und an einer beliebigen weiteren Stelle weitermale, sehe ich schon

okay, an der Stelle entsteht ein sogenannte Unstetigkeit, das heißt so kann

man sich das ganze intuitiv vorstellen. Stetigkeit hat auch nichts damit zu tun

wie glatt eine Funktion ist, ich kann Ihnen auch hier eine Funktion hinein

zeichnen, die im Prinzip sehr viele Oszillationen und Zacken hat und dennoch,

obwohl diese Funktion nicht glatt ist, würden wir sie stetig bezeichnen aus dem

Grund, dass man zu jedem Punkt einen Nachbarpunkt findet, der im Prinzip

daran anschließt. Das ist jetzt nur die intuitive Anschauung von Stetigkeit, das

Ganze können natürlich mathematisch formalisieren und darum wollen wir im

folgenden der Definition die verschiedenen Begriffe der Stetigkeit

wiederholen. Wir beginnen mit einer Definition zur Stetigkeit, diesmal in

normierten Räumen und sie haben im letzten Semester schon verschiedene

Begriffe der Stetigkeit kennengelernt, wir fangen hier mit dem schwächsten Begriff

an und arbeiten uns dann hoch zu den stärkeren Stetigkeitsbegriffen, das

heißt wir betrachten im folgenden immer eine Funktion f, die von einem

normierten Vektorraum x nach y abbildet,

f eine Funktion, die von einem normierten Vektorraum x nach y abbildet,

x und y normierte Vektorräume

mit eigenen Normen, also das ist besonders wichtig, warum ist das wichtig?

Naja, wir können uns jetzt im Prinzip auch Funktionen anschauen, dass das

kleinen Einschub, die von den reellen Zahlen zum Beispiel in die reellen Zahlen

abbilden, das heißt in dem Fall wäre der normierte Vektorraum x und y identisch,

wir könnten uns also anschauen, die Funktion f, die abbildet von den

reellen Zahlen in die reellen Zahlen, ein Beispiel dazu wäre die Funktion f und x

gleich Sinus x, da ist dann klar, dass der Definitionsbereich und Wertebereich

diese Räume stimmen überein, ich kann aber auch ganz andere Konstruktionen anstreben,

nämlich Funktionen, die nicht mehr skalarwertig sind, sondern Vektoren

annehmen, das heißt man könnte sich anschauen, eine Funktion, die ein Skalar

als Eingabe hat, aber dann in den R2 abbildet, und solche Funktionen wäre zum

Beispiel f von x ist definiert als das Tupel x und x², Sie sehen, dann bekommen

Sie Vektoren im R2, da ist dann klar, dass y der Zielraum nicht mehr derselbe sein

kann wie x, das heißt hier brauchen wir eine eigene Norm, das ist besonders

wichtig, oder andersrum, ich könnte auch ein Vektor nehmen und ihn auf ein

Skalar abbilden, das heißt hier hätten wir zum Beispiel von R2 nach R, ein

einfaches Beispiel, das man im Hinterkopf behalten kann, ist eine Funktion in f von x und y,